第一价格拍卖

根据第一价格拍卖规则，出价最高的人支付他的出价获得拍品。假设竞拍人 $i \in {1, 2}$ 对拍品的主观价值为 $v_{i} \sim U (0, 1)$ ，出价策略为 $b_{i} = a_{i} + c_{i} v_{i}$ 形式，求最优出价策略。

竞拍人 $i$ 的效用函数为（ $b_{i} = b_{j}$ 的概率为零）

u_{i} = {\begin{cases} v_{i} - b_{i} & b_{i} > b_{j} \\ 0 & b_{i} < b_{j} \end{cases}

竞拍人 $i$ 的效用最大化问题为

\begin{aligned} max_{b_{i}} (v_{i} - b_{i}) P (b_{i} > b_{j}) \\ = & max_{b_{i}} (v_{i} - b_{i}) P (b_{i} > a_{j} + c_{j} v_{j}) \\ = & max_{b_{i}} (v_{i} - b_{i}) P (v_{j} < \frac{b_{i} - a_{j}}{c_{j}}) \\ = & max_{b_{i}} (v_{i} - b_{i}) (\frac{b_{i} - a_{j}}{c_{j}}) \end{aligned}

F.O.C.

- (\frac{b_{i} - a_{j}}{c_{j}}) + \frac{v_{i} - b_{i}}{c_{j}} = 0 ⟹ b_{i} = \frac{a_{j} + v_{i}}{2}

对比系数可知 $a_{i} = \frac{a_{j}}{2}$ 以及 $c_{i} = \frac{1}{2}$ ，又因为对称性 $a_{i} = a_{j}$ 以及 $c_{i} = c_{j}$ ，最优策略为

b_{i} = \frac{v_{i}}{2}